Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen

Lösung

Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 17a

Da die Kostenfunktion K eine ganzrationale Funktion 3. Grades sein soll, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz:
K(x) = a·x3 + b·x2 + c·x + d mit a, b, c, d Î
IR und x ³ 0 .

Es gilt K(x) = Kvar(x) + 81 (da die fixen Kosten 81 GE betragen).

Der Ansatz für die variablen Kosten Kvar(x) lautet: Kvar(x) = a·x3 + b·x2 + c·x

Die erste Ableitung des Funktionsterms Kvar(x) lautet dann:   K'var(x) = 3·a·x2 + 2·b·x + c

Aus der Tabelle ergeben sich zunächst folgende 3 Bedingungen für die variablen Kosten Kvar:

(1) Kvar(6) = 378
(2) Kvar(10) = 910
(3) Kvar(12) = 1404

Dieses Gleichungssystem löst man nun mit DERIVE. Kvar(x) setzt man zu F(x):

Entweder benutzt man nun den SOLVE-Befehl in DERIVE :

SOLVE([f(6) = 378, f(10) = 910, f(12) = 1404], [a,b,c,d])

oder man löst das vollständige lineare Gleichungssystem mit dem Befehl SOLVE > SYSTEM:

(1) f(6) = 378Û a·63 + b·62 + c·6 = 0
(2) f(10) = 910 Û a·103 + b·102 + c·10 = 910
(3) f(12) = 1404 Û a·123 + b·122 + c·12 = 1404

DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems für die variablen Kosten:
 

Daher ergibt sich die Gleichung der Kostenfunktion K zu:

Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File  Übungsaufgabe 17.mth  im Anhang!

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