Differentialrechnung - Bestimmung von Funktionsgleichungen |
Lösung |
Übungsaufgaben: Lösung zu Aufgabe 10
Da es sich um eine ganzrationale Funktion 5. Grades handelt, deren Graph symmetrisch zum Ursprung verläuft, macht man für die Funktionsgleichung den Ansatz: f(x) = a·x5 + b·x3 + c·x mit a, b, c ÎIR.
Die erste und die zweite Ableitung der Funktion
f zu f(x) = a·x5
+ b·x3 + c·x lauten
dann:
f
'(x) = 5·a·x4
+ 3·b·x2
+ c und f
'' (x) = 20·a·x3
+ 6·b·x
Damit ergibt sich:
(1) f(0) = 0 Û
0 = 0 (keine brauchbare Aussage)
(2) f '(0) = 2 Û 5·a·04
+ 3·b·02
+ c = 2 Û c = 2
(3)
f(-1) = 0Û a·(-1)5
+ b·(-1)3 + c·(-1)
= 1 Û - a - b - c =
0
(2) f "(-1) = 0 Û
20·a·(-1)3
+ 6·b·(-1) = 0 Û
- 20a - 6b = 0
DERIVE liefert als Lösung dieses Gleichungssystems:
(Dazu verwendet man den Befehl SOLVE([F'(0)=2,F(-1)=0,...],[a,b,c])
oder man löst das obige Gleichungssystem mit dem Befehl Solve > System.)
Die Berechnungen hierzu finden Sie im DERIVE-File
Übungsaufgabe
10.mth
im Anhang!
Ausdruck des Graphen zu f:
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